16. Potenciación
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  1. Iniciación a la potenciación

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.

23 = 8. El número que se multiplica varias veces se llama base (2), el número de veces que multiplica la base se llama exponente (3) y el resultado de la multiplicación se llama potencia (8). Así, el 2 elevado al cubo es igual a 8. Las operaciones que se realizan para elevar el 2 al cubo son las siguientes:
23 =2 x 2 x 2 = 8. Se multiplica la base tantas veces como diga el exponente. El 2 es la base y se multiplica tres veces. 2 por 2 son 4; 4 por 2 son 8.

52 = 5 x 5 =25.  5 elevado al cuadrado es igual a 25. En este ejemplo la base es 5 y se multiplica 2 porque el exponente es 2.

(3)4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81. El 3 es multiplicado 4 veces.

Los signos se multiplican respetando las leyes de los signos de la multiplicación: menos por menos es más; más por menor es menos; más por más es más.

(-3)5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = -243. El -3 debe multiplicarse 5 veces.

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  A. Contesta con una de estas letras: a, b, c. (Si la letra toma el color rojo la respuesta es acertada).

  1. Resuelve: 25 =

    a.  10
    b.  32
    c.  40

 

  2. Halla: (-4)2 =

    a.  16
    b.  -16
    c.  -8

 

 3. Resuelve: (-3)3 =

    a.  27
    b.  -9
    c.  -27

 

 4. Halla: 17 =

    a.  1
    b.  -1
    c.  7

 

 5. Resuelve: (-5)3 =

    a.  125
    b. -15
    c.  -125

 

 6. Halla: (-7)2 =

    a.  -14
    b.  49
    c.  -49

 


  2. Potencias con exponente cero y base negativa

(-7)0 = 1. La base es -7 y el exponente es 0. El resultado es igual a 1. El -7 entre paréntesis, elevado al exponente 0 afecta al signo negativo y por tanto toda la expresión se convierte en 1.

 

-70 = -1. En este caso no existen paréntesis y por lo tanto el 0 solo afecta al 7 y no afecta al signo negativo. Por eso, el signo negativo se repite.

 

(a2 + 2b)0 = 1. Cualquier expresión entre paréntesis elevado al exponente 0, es igual a 1.

 

-(3b -x)0 = -1. Si fuera del paréntesis se encuentra el signo negativo, el resultado es -1. Porque el exponente no afecta al signo negativo, que está fuera del paréntesis.

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  B. Contesta con una de estas letras: a, b, c. (Si la letra toma el color rojo la respuesta es acertada)

  1. Halla: (x2 + 5y)0 =

    a.  -5
    b.  -1
    c.  1

 

  2. Resuelve: (8 + 9)0 =

    a.  1
    b.  -1
    c.  17

 

 3. Halla: -(b - y)0 =

    a.  1
    b.  -1
    c.  b - y

 

 4. Resuelve: -(8 + 3)0 =

    a.   -1  
    b.  1
    c.  -11

 

 5. Halla: (-5)0 =

    a.  5
    b.  -1
    c.  1

 

 6. Resuelve: -90 =

    a.  1
    b.  -1
    c.  9

 

  3. La potenciación y sus propiedades

Después de conocer la base, exponente y potencia estudiamos las propiedades.

Propiedad 1. a0 =1. Cualquier cantidad elevada al exponente 0 es igual a 1. Pero a no será igual a 0. En este caso 00 = Indeterminado.

Propiedad 2. a1 = a. Cualquier potencia con exponente 1 es igual a la misma base.

Propiedad 3. an x am = an+m.  Si tenemos una multiplicación o producto de potencias de la misma base, entonces conservamos la base y sumamos los exponentes.

Propiedad 4. an
                 --- = an : am = an-m.
                 am
Si tenemos un cociente o división de potencias  de la misma base, entonces conservamos la misma base y restamos los exponentes.

Propiedad 5. (an)m = an.m  Si tenemos una potencia, elevada a su vez a otro exponente, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Esto se llama potencia de una potencia.

Propiedad 6. (a .b)n = an . bn  El punto es el signo de multiplicar (x). Si tenemos una potencia donde en la base hay un producto o multiplicación de cantidades, entonces el exponente n afecta a cada uno de los componentes de la multiplicación. El exponente se reparte para cada uno de los factores que tenemos en la base.

Propiedad 7. a n     an
                 (--)  = ----
                   b        bn

Si tenemos una potencia donde en la base hay una división o una fracción, entonces el exponente n afecta a los dos componentes de la división: al dividendo y al divisor. Hay que hacer una advertencia:
(a ± b)n # an ± bn

 Propiedad 8.          1
                   a-n = ----
                             an

Si tenemos una potencia con exponente negativo, es igual a una fracción, que tiene 1 en el numerador y la potencia en el denominador pero ahora con exponente positivo.

Propiedad 9.  1
                   --- = an
                   a-n

Si tenemos una fracción con 1 en el numerador y con una potencia de exponente negativo en el denominador, eso es igual a la potencia con exponente positivo. El traslado de una potencia del numerador al denominador o viceversa, ocasiona cambio de signo en el exponente.

Propiedad 10. a  -n      b  n
                  (--)   = (---)
                    b          a

Si tenemos una fracción elevada a un exponente negativo, eso es igual a la fracción invertida elevada al mismo exponente pero de signo negativo. En otras palabras,  es escribir el recíproco de la fracción que se encuentra en la base, y cambiando el signo del exponente.

Propiedad 11. ( + )Par o Impar = +. Si tenemos una base positiva y en el exponente tenemos una cantidad para o impar, el resultado tendrá signo positivo.
Ejemplo 1: 54 =5.5.5.5 = 625.    Ejemplo 2: 43 = 4.4.4 = 64

Propiedad 12. ( - )Par = +  Si tenemos una base negativa elevada a un exponente par el resultado será positivo.  Ejemplo 1: (-7)2 =(-7) (-7) = 49. Ejemplo 2: (-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = 16.

Propiedad 13. (-)Impar = -.  Con una base negativa y un exponente Impar, el resultado es negativo.
Ejemplo 1: (-6)3 = (-6) (-6) (-6) = -216


  C. Contesta con una de estas letras: a, b, c. (Si la letra toma el color rojo la respuesta es acertada)

  1. Resuelve: (bn)m =

    a.  bn.m
    b.  bn-m
    c.  bn+m

 

  2. Halla: 00 =

    a.  1
    b.  -1
    c.  Indeterminación

 

 3. Resuelve: (a/b)n =

    a.  an + bn
    b.  an / bn
    c.  an - bn

 

 4. Halla: 1 / an =

    a.  an
    b.  -an
    c.  a-3

 

 5. Resuelve: (a / b)-m =

    a.  (b / a)m
    b.  (a /b)m
    c.  (a + b)m

 

 6. Halla: (-4)3 =

    a.  64
    b.  -64
    c.  -12

 




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