17. Radicación
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  1. Introducción a la radicación  

 
3√8 = 2 . El signo radical es √. La cantidad dentro del signo radical se llama radicando (8). El número que se encuentra sobre el signo radical se llama índice (3) y el resultado se llama raíz (2).

La raíz cúbica de 8 es igual a 2 porque 2 x 2 x 2 = 8. Si multiplicamos el número 2 tres veces, como indica el índice de la raíz, se obtiene el 8 (radicando).

5√32 = 2 Al multiplicar 5 veces el 2 da 32: 2 x 2 x 2 x  2 x 2 = 32

√ = 2√9 = 3. Cuando sobre el signo radical no existe ningún número se sobreentiende que el  número del índice es el 2. La raíz cuadrada del 9 es 3 porque 3 x 3 = 9.

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  A. Contesta con una de estas letras: a, b, c.

  1. Resolver: √4 =

    a.  8
    b.  6
    c.  2

 

  2. Halla: √64 =

    a.  8
    b.  10
    c.  9

 

 3. Resuelve: √9 =

    a.  6
    b.  3
    c.  8

 

 4. Halla: √81 =

    a.  9
    b.  8
    c.  7

 

 5. Resuelve: √25 =

    a.  7
    b.  5
    c.  4

 

 6. Halla: √36 =

    a.  9
    b.  3
    c.  6

 

  2. Raíz Cúbica


3√125 = 5. El índice de la raíz cúbica es el 3. Por lo tanto, ¿Qué número multiplicado por si mismo tres veces da como resultado 125 ?.

Y la respuesta es 5, porque 5 x 5 x 5 = 125, que es el radicando.

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Valores

 

  B. Contesta con una de estas letras: a, b, c.

  1. Halla: 3√216 =

    a.  6
    b.  9
    c.  8

 

  2. Resuelve:  3√8 =

    a.  10
    b.  4
    c.  2

 

 3. Halla: 3√64 =

    a.  8
    b.  4
    c.  10

 

 4. Resuelve: 3√343 =

    a.  6
    b.  8
    c.  7

 

 5. Halla:  3√27 =

    a.  3
    b.  6
    c.  5

 

 6. Resuelve: 3√512 =

    a.  7
    b.  8
    c.  9

 

  3. La radicación y sus propiedades


an = c  es una potencia. Ahora tenemos otra operación que se desprende de la potenciación y se llama radicación. Se expresa de esta manera: n√c = a. Raíz de índice n de la cantidad c y esto es la cantidad a.

23 = 8. Si tenemos la potencia 2 elevada al exponente 3, lo que se conoce como 2 al cubo, es igual a 8. La raíz cúbica de 8 es 2, o sea igual a la base de la potenciación.

34 = 81; 4√81 = 3. Si en la potencia, en lugar de 3 hubiéramos tenido base -3, entonces
-34 = 81; vez;  4
√81 = ± 3. La potencia también daría 81. La raíz puede ser 3 y -3, ya que (±3)4 = 81.

Propiedad 1. n√am = am/n.  Si tenemos una raíz con índice n y con una potencia am esto es igual a la cantidad a elevada al exponente m sobre n, el exponente que tenemos en al radicando sobre el índice de la raíz. Esta propiedad nos permite transformar cualquier raíz en una potencia que se caracteriza por tener exponente fraccionario.

Propiedad 2n impar√an = a  Si n es impar entonces la raíz enésima de a a la n es igual a la cantidad a. Aquí tenemos la interacción de dos operaciones contrarias o inversas entre sí, que son la potenciación y al mismo tiempo la radicación. Como son iguales estas dos cantidades, es decir, el exponente y el índice de la raíz, entonces se cancelan mutuamente y nos dejan libre la cantidad a. Podemos demostrar la validez de esta propiedad apoyándonos en  la anterior.

n√an = an/m =1 =a  Tenemos la ría enésima de a a la n. Entonces esto será igual a la cantidad a elevada al exponente n. Es decir, el exponente del radicando sobre el índice de la raíz.

Propiedad 3. par n√an = |a| = {a si a≥ 0
                                          { -a si a < 0 
Si n es un número par, entonces la raíz enésima de a a la n tiene dos resultados: valor absoluto de |a| es igual a la misma cantidad a si se trata de una cantidad a mayor o igual que 0 (cero). En otras palabras, si a es cero o una cantidad positiva, entonces sale de las barras tal como está sin  presentar ninguna modificación. Por otro lado, el valor absoluto de a es igual a menos -a si comprobamos que la cantidad a es menor que cero.  En otras palabras, si lo que tenemos dentro de las barras es una cantidad negativa, entonces deberemos extraerla precedida de signo negativo. De esa manera tendremos al final una cantidad positiva, tal como lo indica la definición del valor absoluto. Es evidente que la propiedad número 3 es bastante rigurosa porque nos pide revisar con atención cómo es la cantad a, es decir, nos toca decir si se trata de una cantidad positiva o negativa. Para la tranquilidad del estudiante, podemos decirle que la mayoría de los ejercicios de radicación consideran las letras como cantidades positivas. Entonces estaríamos en el primer caso, donde la raíz enésima a la n es simplemente la cantidad a. Así podemos resumir las propiedades 2 y 3 de la siguiente manera:  raíz enésima de a a la n es igual a la cantidad a n√an = a. Se produce la cancelación del índice de la raíz y el exponente n a la potencia, dejando libre la cantidad a.

Propiedad 4.  (n√a)n = a  .Si tenemos la raíz de índice n de una cantidad a y todo eso se encuentra elevado al exponente n, entonces eso es igual a la cantidad a. Tenemos en este caso, la interacción de dos operaciones contrarias, tenemos potenciación y al mismo tiempo radicación. Entonces se cancelan mutuamente y dejan libre la cantidad a. Esta propiedad se parece bastante a las propiedades 2 y 3. La diferencia radica en que el exponente n esta vez actúa por fuera de la raíz, mientras que en las propiedades 2 y 3 observamos que el exponente n está al interior de las raíces.

Propiedad 5. n√a.b = n√a . n√b. Tenemos la raíz enésima de un producto a por b. Esto es igual a la raíz enésima de a por la raíz enésima de b. En otras palabras, si en el radicando tenemos una multiplicación de cantidades, entonces la raíz afecta a cada una de ellas.

Propiedad 6. n√a/b = n√a / n√b. Si tenemos la raíz enésima de un cociente o división, entonces la raíz afecta tanto al numerador como al denominador. O dicho en otras palabras, afecta a dividendo y también afecta al divisor de la división que tenemos en el radicando.
Advertencia: n√a ± b ‡ n√a ± n√b. Es importante tener en cuenta esta advertencia. Si tenemos la raíz enésima de una suma o resta de cantidades no está permitido repartir raíz para cada una de ellas, como se observa en  las propiedades 5 y 6. Únicamente podemos repartir la ría si tenemos multiplicación o división en el radicando, nunca si tenemos suma o resta en ese lugar.

Propiedad 7. nm√a = n.m√ a .Si tenemos la raíz de índice n aplicada a otra raíz de índice m, entonces se multiplican los índices de las raíces. Esta propiedad se conoce con el nombre de raíz de una raíz y lo que se hace es conservar el valor del radicando y multiplicar los índices de las raíces.

Propiedad 8. par√ + = ±  Si tenemos la raíz de índice par de una cantidad positiva, tendremos dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa. Esto fue lo que sucedió con los ejemplos que vimos al principio. Por ejemplo, cuando vimos que raíz cuarta de 81 era igual más o menor 3. 4√81 = ±, o en el caso de √49 = ± 7. Raíz cuadrada de 49, que nos dio más o menos 7.

Propiedad 9. par√ - = No existe en los Reales. Si tenemos la raíz par de una cantidad negativa, entonces tenemos que no existe en el conjunto de los números reales. Es, por ejemplo, el caso de √-1 = i (unidad imaginaria). La raíz cuadrada de menos 1, que equivale a i, es decir, la unidad imaginaria. Esto hace parte de otro conjunto numérico distinto de los reales, que se llaman los números imaginarios.

Propiedad 10impar√ + = +.  Si tenemos la raíz impar de una cantidad positiva, tendremos como resultado otra cantidad de signo positivo. Es el caso del ejercicio que vimos en el comienzo de este tema 3√8 = 2. Teníamos que la raíz cúbica de 8 es igual a 2. Allí se observa la raíz del índice impar de una cantidad positiva y obtenemos como resultado otra cantidad de signo positivo.

Propiedad 11. impar√ - = - .Para terminar veamos la propiedad número 11. Si tenemos la raíz impar de una cantidad negativa, tendremos un resultado también de signo negativo. Es el caso por ejemplo de 5√-32 = -2. Allí se observa un índice impar y un radical negativo. En este caso podemos extraer el signo menor de lo que es la raíz y nos quedaría 5√32  y esto a su vez es igual a menos 2. La raíz quinta de 32  es igual a 2. Pero como está presente el signo negativo, entonces lo conservamos.  Y de esta manera vemos que 5√-32 es igual a -5√32 = -2.


  C. Contesta con una de estas letras: a, b, c.

  1. Resuelve: par√ +  =

    a.  +
    b.  ±
    c.  -

 

  2. Halla:  impar n√ an =

    a.  -a
    b.  ± asegunda
    c.  a

 

 3. Resuelve: par √ - =

    a.  No existe en los Reales
    b.  +
    c.  -

 

 4. Halla: n√ a.b =

    a.  n√a . n√b
    b.  n
√a  + n√b
    c.  n
√a - n√b

 

 5. Resuelve:  n√ am =

    a.  am.n
    b.  am-n
    c.  am/n

 

 6. Halla: ( n√a )n =

    a.  an
    b.  a
    c.  am

 




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